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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 

ECUACIÓN LINEAL

 

DEFINICIÓN 1:

Una ecuación lineal con n incógnitas x1, ..., xn es una ecuación que se puede escribir en la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b (1), donde las a-es se llaman coeficientes de los x y el número b se llama término constante. Se asume que las a-es y la b son valores conocidos. 

Ejemplo 1

 

Ejemplo 2

 

DEFINICIÓN 2:Solución de una ecuación lineal.

 

Una n-tupla de números (s1, ..., sn) es una solución de la ecuación (1) si y solo si:

a1s1 + a2s2 + a3s3 + ... + ansn = b. 

Ejemplo 3

 

Ejemplo 4

 

DEFINICIÓN 3:

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones lineales que se puede escribir de la siguiente forma:

 

 (2)

 

 

Los coeficientes ai j para  y  son números fijos al igual que las constantes bi, i = 1, 2, ..., m . Este sistema se llama homogéneo si bi = 0 para i = 1, 2, ..., m una n-tupla de números (s1, s2, ..., sn) es una solución del sistema de ecuaciones (2) si y solo si

 

 para i = 1, 2, ..., m.

 

Es decir, la n-tupla de números es solución de cada una de las ecuaciones del sistema (2).

 

Ejemplo 5

 

Ejemplo 6

 

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro S.E.L. equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones.

Las operaciones que se llevan a cabo para obtener el sistema equivalente se llaman operaciones elementales.

Hay tres tipos de operaciones elementales:

• Intercambio de dos ecuaciones del S.E.L.

 

• Reemplazar una ecuación del S.E.L. por un múltiplo escalar de esta. (Se multiplica a ambos lados de una ecuación por un número diferente de cero).

 

• Reemplazo de una ecuación del S.E.L. por la suma de esta y un múltiplo escalar de otra ecuación del S.E.L.

 

Cuadro descriptivo

 

Ejemplo 7

 

En el proceso de pasar de un sistema equivalente a otro, puede ahorrarse trabajo escribiendo solamente los coeficientes de las variables y los términos constantes, que son los únicos que cambian en el procedimiento. En el ejemplo anterior al sistema de ecuaciones original lo podemos representar por medio del siguiente arreglo:
 

se llama matriz asociada al sistema y cada número de la matriz se llama componente, también se llama matriz aumentada del sistema.

La matriz

se llama matriz de coeficientes del sistema

y la matriz 

se llama la matriz (vector) de términos constantes del S.E.L.

 

En lugar de efectuar las operaciones en las ecuaciones del sistema, podemos obtener el mismo resultado si los realizamos en las filas (o renglones) de la matriz aumentada del S.E.L., y en lugar de hablar de ecuaciones se habla de filas. Como Eij , KEi, K¹0, KEi + Ej denotan operaciones entre ecuaciones del sistema, denotaremos Fij , KFi, (K¹0), KFi + Fj las operaciones respectivas en las filas de la matriz aumentada del sistema.

Por ejemplo, si realizamos la operación - 2 F1 + F2 en la matriz

 

obtendremos:

 

 

Ejemplo 8

 

La matriz aumentada final corresponde al sistema:

 

y si consideramos la solución como una terna, la podemos escribir como (2, 0, -1).
 

Este método de comenzar con el S.E.L. para reducirlo en un S.E.L. equivalente

 

se llama el proceso de reducción Gauss - Jordan o Eliminación de Gauss - Jordan.
 

La matriz aumentada final que aparece en este proceso se dice que esta en forma escalonada reducida. El método de Gauss - Jordan es un refinamiento del método de eliminación de Gauss. En el método de eliminación de Gauss procedemos como en la forma anterior pero suspendemos el proceso cuando llegamos a una matriz ampliada como la marcada con asterisco, que se llama matriz escalonada.
 

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales no es necesario aplicar eliminación de Gauss - Jordan, es suficiente con el método de eliminación de Gauss.
 

El sistema correspondiente a la matriz denotada con asterisco

 

se puede resolver por sustitución. De la última ecuación se tiene que x3 = - 1. Sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando, tenemos que x2 = - 1 + 1 = 0. Conocidos los valores de x3 y x2 los sustituimos en la primera ecuación x1 + 2(0) + (-1) = 1 y obtenemos x1 = 2.
 

Se puede demostrar que el número de operaciones aritméticas que hay que realizar es menor en el método de Gauss que en el método de Gauss - Jordan.
 

Para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas se requiere
 

Método:Numero aprox. de operaciones

Método de Eliminación de Gauss

Método de Eliminación de Gauss - Jordan

 

 

Ejemplo 9

 

Ejemplo 10

 

Ejemplo 11

OBSERVACIÓN:

En el proceso de eliminación de Gauss en una misma etapa se pueden hacer varias operaciones elementales, teniendo presente que una fila afectada por una operación elemental no puede ser utilizada en mas operaciones elementales en esta misma etapa. 

 

ALGORITMO PARA ESCALONAR UNA MATRIZ
(PARA LA ELIMINACIÓN DE GAUSS)

 

 

• En la matriz ampliada del sistema localizamos la primera columna de izquierda a derecha, distinta de cero, y en esta buscamos un elemento no nulo preferiblemente un uno (si es posible).

• Si es necesario, intercambiamos la primera fila con la fila que contiene el elemento no nulo determinado anteriormente.

• Hacemos cero todas las demás entradas de la primera columna, sumando el múltiplo apropiado de la primera fila a las otras filas.

• Repetimos los pasos del 1 al 3, ignorando la primera fila. Continuamos de la misma manera hasta que toda la matriz esté en forma escalonada (hasta terminar el proceso de eliminación de Gauss)

.

 

Ejemplo 12

 

El primer elemento no nulo de una fila no nula en la matriz escalonada se llama pivote.

Las variables que corresponden a las columnas donde hay pivotes se llaman variables básicas o variables principales. Las variables que no son básicas se llaman variables libres o parámetros.
Para resolver el sistema equivalente se despejan las variables básicas en términos de las no básicas y a las no básicas se les asignan parámetros reales.

En el ejemplo anterior tenemos:

 

• Variables básicas: x1, x3, x6

 

 

• Variables no básicas: x2, x4. x5

Despejando las variables básicas en términos de las no básicas el sistema queda así:
 

Finalmente hacemos x2=t, x4=r, x5=p, donde t, r y p son números reales arbitrarios (parámetros).